Exemples
Soit $a$ un réel. On définit la suite $(u_{n})_{n\in\N}$ par:
$$u_{0}=a\qquad\text{et}\qquad\forall n\in\N, \; u_{n+1}=(1-a)u_{n}+a$$
Déterminer l'expression du terme général de cette suite en fonction du réel $a$. En déduire la nature (et la limite éventuelle) de la suite $(u_{n})$ en fonction du réel $a$. Un feu est soit rouge, soit vert. Généralité sur les suites numeriques pdf. S'il est vert à l'instant $n$ alors il est rouge à l'instant $n+1$ avec la probabilité $p$ (avec $0 Accueil » Cours et exercices » Première Générale » Généralités sur les suites Notion de suite
Généralités
Une suite numérique est une fonction définie pour tout entier \(n\in\mathbb{N}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\)
$$u:\begin{array}{rcl}
\mathbb{N}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\
n& \longmapsto &u(n)
\end{array}$$
On note en général \(u_n\) l'image de \(n\) par la suite \(u\), également appelé terme de rang \(n\). La suite \(u\) est également notée \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ou \((u_n)\)
Exemple: On peut définir la suite \((u_n)\) des nombres impairs. Généralités sur les suites – educato.fr. On a alors \(u_0=1\), \(u_1=3\), \(u_2=5\)…
Comme pour les fonctions, on peut définir une suite à l'aide d'une formule explicite. Exemple: On considère la suite \((u_n)\) telle que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n=3n+4\). On a alors:
\(u_0=3\times 0 + 4 = 4\) \(u_1=3\times 1 + 4 = 7\) \(u_2=3\times 2 + 4 = 10\)…
Génération par récurrence
On dit qu'une suite \((u_n)\) est définie par récurrence (d'ordre 1) lorsqu'il existe une fonction \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) telle que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=f(u_n)\). Exercice 1
$\left(u_n\right)$ est la suite définie pour tout entier $n\pg 1$ par: $u_n=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$. Démontrer que tous les termes de la suite sont strictement positifs. $\quad$
Montrer que: $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n}{n+2}$
En déduire le sens de variations de $\left(u_n\right)$. Correction Exercice 1
Pour tout entier naturel $n \pg 1$ on a:
$\begin{align*} u_n&=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \\
&=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)} \\
&=\dfrac{1}{n(n+1)} \\
&>0
\end{align*}$
Tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont donc positifs. $\begin{align*} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}}{\dfrac{1}{n(n+1)}} \\
&=\dfrac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} \\
&=\dfrac{n}{n+2}
Tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont positifs et, pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a $0<\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n}{n+2}<1$. Généralités sur les suites numériques - Logamaths.fr. Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. [collapse]
Exercice 2
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n=3+\dfrac{2}{3n+1}$. Liens connexes
Définition d'une suite numérique Suites explicites Suites récurrentes Représentation graphique d'une suite numérique Exemples
1. Un exemple pour commencer
Exercice résolu n°1. En supposant que les nombres de la liste ordonnée suivante obéissent à une formule les reliant ou reliant leurs rangs, déterminer les deux nombres manquants en fin de la liste. $L_1$: $0$; $3$; $6$; $9$; $\ldots$; $\ldots$
2. Définition d'une suite numérique
Définitions 1. Une suite numérique est une liste de nombres réels « numérotés » avec les nombres entiers naturels. Généralité sur les suites tremblant. La numérotation peut commencer par le premier terme de la suite avec un rang $0$ ou $1$ ou $2$. $n$ s'appelle le rang du terme $u_n$. La suite globale se note: $(u_n)$ [ avec des parenthèses]. Le nombre $u_n$ [ sans les parenthèses] s'appelle le terme général de la suite. On l'appelle aussi le terme de rang $n$ ou encore le terme d'indice $n$ de la suite. Définitions 2. Une suite numérique est une fonction $u$ de $\N$ dans $\R$ qui, à tout nombre entier $n\in\N$ associe un nombre réel $u(n)$ noté $u_n$. Sommaire: Définitions et
vocabulaire - Sens de variation d'une suite -
Représentation graphique
1. Définitions
Exemple: Posons
U 0 = 0,
U 1 = 1,
U 2 = 4,
U 3 = 9,
U 4 = 16,
U 5 = 25,
U 6 = 36,...,
U n = n 2. Dans ce cas, ( U n) est appelée
une suite. Définition
Une suite ( U n) est la donnée d'une
liste ordonnée de nombres notés
U 0, U 1,
U 2, U 3... et
appelés les termes de la suite ( U n). n
représente l' indice ou le rang des
termes de la suite. U 0
est le premier
terme de la suite
U n
(U « indice » n) est le terme
général de la suite
U n. Remarque
U n-1 et U n+1 sont
respectivement les termes précédent et suivant de
2. Génération d'une suite
a. Généralité sur les suites arithmetiques pdf. Suite définie par
U n = f (n)
Pour toute fonction définie sur, on peut
définir de manière explicite une suite
( U n) = f (n) pour tout
Autres exemples
On peut calculer directement le 10ème terme sans
connaître les précédents. Exemple:
b. Suite définie par une relation de récurrence
Soit la suite définie par son premier terme
U 0 = 3 et tel que le terme suivant
s'obtienne en multipliant par deux le terme précedent et en
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Généralité Sur Les Suites Tremblant
Généralité Sur Les Suites Numeriques Pdf
\\
On note \(\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty\)
Exemple: On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout \(n\) par \(u_n=n^2\). Généralités sur les suites - Site de moncoursdemaths !. \(u_0=0\), \(u_{10}=100\), \(u_{100}=10000\), \(u_{1000}=1000000\)… La suite semble tendre vers \(+\infty\). Prenons en effet \(A\in\mathbb{R}+\). Alors, dès que \(n\geqslant \sqrt{A}\), on a \(u_n=n^2\geqslant A\), par croissance de la fonction Carré sur \(\mathbb{R}+\). Ainsi, \(u_n\) devient plus grand que n'importe quel nombre, à partir d'un certain rang.
Généralité Sur Les Suites Arithmetiques Pdf
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