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Soutien maths - Suites arithmetiques et géométriques
Cours maths 1ère S
Suites arithmetiques et géométriques
Les suites
Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des suites particulières qui servent à modéliser bon nombre de situations de la vie courante. Par exemple, les suites arithmétiques permettent de décrire l'amortissement des matériels informatiques achetés par une entreprise. Les placements financiers avec taux d'intérêts ou les prêts bancaires sont modélisés avec des suites géométriques. Arithmétique, Exercices de Synthèse : Exercice 27, Correction • Maths Expertes en Terminale. Suites arithmétiques
Définition:
Une suite
est une suite arithmétique si et seulement si il existe un nombre réel r tel que, pour tout
on ait
Si la suite
est une suite arithmétique, le nombre réel r s'appelle la raison de cette suite. Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s'obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même. U n suite arithmétique? •
Quelques points importants à retenir
Pour montrer qu'une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer qu'une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer qu'il existe un nombre réel r indépendant de n tel que, pour tout,
Autrement dit, il faut montrer que la différence
est constante:
Pour montrer qu'une suite n'est pas une suite arithmétique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, la différence
n'est pas constante.
Cours Maths Suite Arithmétique Géométrique La
IV Représentation graphique
Exemples
V Limites
Cette partie est hors programme en classe de première. Propriété 6: On considère une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de raison $q$ et de premier terme $u_0$. – Si $u_0>0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$;
– Si $u_0<0$ alors $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-\infty$. Si $\boldsymbol{-1
Exemple: Soit \((u_n)\) la suite arithmétique de terme initial \(u_0=5\) et de raison \(r=-3\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n=5+(-3)\times n = 5-3n\). En particulier, \(u_{100}=5-3\times 100 = -295\)
Variations et limites
Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\). Si \(r>0\), alors la suite \((u_n)\) est strictement croissante et sa limite vaut \(+\infty \). Si \(r=0\), alors la quite \((u_n)\) est constante. Si \(r<0\), alors la suite \((u_n)\) est strictement décroissante et sa limite vaut \(-\infty\)
Somme de termes
Soit \(n\in\mathbb{N}\), alors
\[ 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\]
Cette propriété s'écrit également
\[\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\]
Démonstration: Notons \(S=1+2+3+\ldots + n\). Cours : Suites géométriques. Le principe de la démonstration est d'additionner \(S\) à lui-même, en changeant l'ordre des termes. \[\begin{matrix}
&S & = & 1 & + & 2 & + & \ldots & +& (n-1) & + & n \\
+&S & = & n & + & (n-1) &+ & \ldots & +& 2 &+& 1\\
\hline
&2S & = &(n+1) & + & (n+1) & + & \ldots & + & (n+1) & + & (n+1)\end{matrix}\]
Ainsi, \(2S=n(n+1)\), d'où \(S=\dfrac{n(n+1)}{2}\).