La suite de Fibonacci est la suite définie par ses deux premiers termes \(F_0=F_1=1\) et par la relation de récurrence suivante:$$\forall n\in\mathbb{N}, \ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}. $$ Nous allons nous pencher sur cette suite afin de déterminer une expression de son terme général en fonction de son rang. Leonardo Bonacci, dit Fibonacci La première chose que j'ai envie d'écrire, c'est:$$\forall n\in\mathbb{N}, \ F_{n+2}-F_{n+1}-F_n=0. $$Ensuite, je me dis que ça serait cool si cette suite était géométrique… Bon, elle ne l'est pas, mais j'ai envie de voir un truc… Supposons alors que \(F_n=q^n\), où \(q \neq 0\). Alors, la relation précédente devient:$$q^{n+2}-q^{n+1}-q^n=0$$ soit:$$q^n(q^2-q-1)=0. $$Comme \(q\) n'est pas nul, cela signifie que \(q^2-q-1=0\), c'est-à-dire, après calcul du discriminant, je trouve deux valeurs possibles pour \(q\):$$q_1=\frac{1-\sqrt5}{2}\text{ ou}q_2=\frac{1+\sqrt5}{2}. $$Mais bon… je ne suis pas si stupide que ça: je vois bien que ni \((q_1^n)\) ni \((q_2^2)\) ne convient car les deuxièmes termes de ces deux suites ne coïncident pas avec le deuxième terme de la suite de Fibonacci.
RLRLRLRLRLRLRLRLRL... est le mot infini associé au nombre d'or (R=Right="à droite", L=Left="à gauche"). Il suffit donc tout simplement de se déplacer alternativement à droite et à gauche en descendant l'arbre de Stern-Brocot pour obtenir la suite des réduites du nombre d'or et donc s'approcher de ce nombre d'or (tendre vers le nombre d'or). Parcours de l'arbre Une utilisation inattendue de la suite de Fibonacci les quotients F n+1 /F n ont pour limite b=1, 618033988749894848... dont ils sont assez proches. Ce nombre b est lui même proche du rapport 1, 609344 des mesures de distances en km et en milles terrestres (1 mille = 1, 609344 km) ce qui permet des conversions approchées comme ci-dessous par qui connaît la suite de Fibonacci. Approximations: 3 milles = 5 km, 5 milles = 8 km, 8 milles = 13 km,... et plus généralement F n milles = F n+1 km On peut aussi utiliser les nombres de Lucas - pas trop petits - comme dans 18 milles = 29 km. Le nombre d'or et les arts Le cinema Idées fausses On lit ou on entend un certain nombre d'inepties sur le nombre d'or.
Enoncé: La suite de Fibonnacci est la solution au problème suivant: supposons qu'un couple (un mâle, une femelle) de lapins immatures soit mis dans un champ, que la maturité sexuelle du lapin soit atteinte après un mois qui est aussi la durée de gestation, que chaque portée comporte toujours un mâle et une femelle et que les lapins ne meurent pas. Combien y aura-t-il de lapins dans le champ après un an? Écrivez un programme qui affiche les premiers termes de la suite de Fibonacci. Cette suite qu'on notera F peut se calculer ainsi: F(0) = 1, F(1) = 1, F(i) = 1 et F(i-1) + F ( i – 2). Essayez les deux possiblités: avec et sans récursivité. Quelle version est la plus rapide? Vérifiez que le quotient de 2 nombres consécutifs de la suite de Fibonacci converge vers le nombre d'or (1+? 5)/2, qui vaut environ 1.
Introduction Durée: 90 minutes Niveau: très difficile On appelle suite de Fibonacci toute suite vérifiant pour tout entier naturel: 1) Montrer qu'il existe une seule suite géométrique à termes positifs vérifiant la relation (*), et de premier terme 1. Montrer que cette suite a pour raison le nombre, solution positive de l'équation. Rappelons que ce nombre s'appelle le nombre d'or. a. Calculer les termes des suites et, pour allant de 1 à 6. d. Etablir une conjecture sur: la convergence de la suite, le comportement de la suite, le comportement de la suite, la limite des suites,,. 3) a. Montrer que:,. b. Montrer que la suite est croissante puis que la suite est décroissante. c. Montrer que. En déduire par récurrence:. Montrer que les suites et sont adjacentes, et donner leur limite commune.
Une anecdote: la guide d'une abbaye de Provence affirmait que le nombre d'or égalait le rapport des côtés d'une feuille A4 (qui est la racine carrée de 2 et non le nombre d'or), l'exemple est mal choisi, mais ce n'est qu'une confusion plutôt amusante. Trouver le nombre d'or dans le règne végétal ou dans le règne animal serait tellement plus naturel! Certaines élucubrations pseudo-scientifiques sont infiniment plus graves. Celles dénoncées sur cette page sont de ce type. Pour un premier contact, [ utilisez ce formulaire] ou utilisez l'adresse de messagerie qui y figure. Merci d'indiquer la page précise du site "//", cela m'aidera beaucoup. Ne joignez aucun document à votre message. Jeux-et-Mathématiques n'est pas un site commercial. Aucun des liens placés sur ce site n'est rémunéré, ni non plus aucune des informations données. Important: Si votre question a un quelconque rapport avec un travail personnel (Devoir TIPE Master... ), vous devez absolument me le préciser dès votre premier message et m'indiquer très précisément les limites des informations demandées.
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