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En informatique, le tri par insertion est un algorithme de tri classique. La plupart des personnes l'utilisent naturellement pour trier des cartes à jouer [ 1]. En général, le tri par insertion est beaucoup plus lent que d'autres algorithmes comme le tri rapide (ou quicksort) et le tri fusion pour traiter de grandes séquences, car sa complexité asymptotique est quadratique. Le tri par insertion est cependant considéré comme l'algorithme le plus efficace sur des entrées de petite taille. Il est aussi efficace lorsque les données sont déjà presque triées. Pour ces raisons, il est utilisé en pratique en combinaison avec d'autres méthodes comme le tri rapide. En programmation informatique, on applique le plus souvent ce tri à des tableaux. La description et l'étude de l'algorithme qui suivent se restreignent à cette version, tandis que l'adaptation à des listes est considérée plus loin. Description Le tri par insertion considère chaque élément du tableau et l'insère à la bonne place parmi les éléments déjà triés.
Décaler les éléments de la partie triée prend i tours (avec i variant de 0 à N). Dans le pire des cas on parcourt N 2 tours, donc le tri par insertion a une complexité en temps de O ( N 2). Conclusion L'algorithme du tri par insertion est simple et relativement intuitif, même s'il a une complexité en temps quadratique. Cet algorithme de tri reste très utilisé à cause de ses facultés à s'exécuter en temps quasi linéaire sur des entrées déjà triées, et de manière très efficace sur de petites entrées en général.
» Invariant de Boucle On appelle cette propriété un Invariant de Boucle. Le terme Invariant signifie qu'elle reste vraie pour chaque itération de la boucle. quand \(k\) vaut \(0\), on place le minimum de la liste en l[0], la sous-liste l[0] est donc triée. Donc \(P(0)\) est vraie. si la sous-liste de \(k\) premiers éléments est triée (donc si \(P(k)\) est vraie), l'algorithme rajoute en dernière position de la liste le minimum de la sous-liste restante, dont tous les éléments sont supérieurs au maximum de la sous-liste de \(k\) éléments. La sous-liste des \(k+1\) premiers éléments est donc aussi triée. Donc \(P(k+1)\) est vraie Complexité de l'Algorithme ⚓︎ Étude Expérimentale ⚓︎ Proposer des mesures expérimentales pour déterminer la complexité du tri par Insertion. Pour mesurer les temps d'exécution, nous allons utiliser la fonction timeit du module timeit. Avant toute chose, néanmoins, il va nous falloir modifier légèrement notre algorithme de tri. En effet, la fonction timeit fait un grand nombre d'appels ( 1000000 de fois, par défaut) à la fonction tri_insertion() (pour ensuite en faire la moyenne): la liste serait donc triée dès le premier appel et les autres appels essaieraient donc de tri une liste déjà triée.
Les principales applications du tri par insertion Voici deux des scénarios les plus courants dans lesquels les programmeurs utilisent le tri par insertion. Tout d'abord, ils l'utilisent lorsqu'il s'agit d'un tableau contenant quelques éléments. Le tri par insertion peut également s'avérer pratique lorsqu'il n'y a qu'un petit nombre d'éléments à trier. Complexités temporelles du tri par insertion Voici un aperçu des complexités temporelles que vous pouvez rencontrer dans le tri par insertion. Complexité dans le pire des cas O (n2) Imaginez qu'il y a un tableau présent dans un ordre ascendant, que vous voulez trier dans un ordre descendant. Un cas comme celui-ci entraîne une complexité de pire cas. Dans une telle situation, vous devez comparer chaque élément avec d'autres éléments pour qu'il y ait (n-1) comparaisons pour chaque nième élément. Le nombre total de comparaisons sera de n*(n-1) ~ n2. Complexité du cas moyen O(n) Ce type de complexité se produit souvent lorsque les éléments d'un tableau sont mélangés, ce qui signifie qu'ils ne sont ni en ordre décroissant ni en ordre croissant.
Le tri par insertion d'un tableau de nombres de taille n consiste à le parcourir et à le trier au fur et à mesure pour que les éléments soient dans l'ordre croissant. Le tri par insertion se fait sur place. Ainsi, à l'étape k, les k –1 premiers éléments du tableau sont triés et on insère le k -ième élément à sa place parmi les k premiers éléments. Exemple Voici les étapes du tri par insertion de Tab=[2, 3, 1, 6, 4, 5]. Étape Tab Commentaire 0 [ 2, 3, 1, 6, 4, 5] Le début [ 2] est déjà trié. Rien ne change. 1 [ 2, 3, 1, 6, 4, 5] 3 est déjà à sa place. Rien ne change. 2 [ 1, 2, 3, 6, 4, 5] On insère 1 à sa place dans le début [ 2, 3]. 3 [ 1, 2, 3, 6, 4, 5] 6 est 4 [ 1, 2, 3, 4, 6, 5] On insère 4 à sa place dans le début [ 1, 2, 3, 6]. 5 [ 1, 2, 3, 4, 5, 6] On insère 5 à sa place dans le début [ 1, 2, 3, 4, 6].
Nous marquons le premier élément du sous-tableau non trié A[1] comme étant la clé. La clé est ensuite comparée aux éléments du sous-tableau trié; ici, nous n'avons qu'un seul élément, A[0]. Si la clé est supérieure à A[0], nous l'insérons après A[0]. Sinon, si elle est plus petite, nous comparons à nouveau pour l'insérer à la bonne position avant A[0]. (Dans le cas de A[0], il n'y a qu'une seule position) Prenez l'élément suivant A[2] comme clé. Comparez-le avec les éléments de sous-réseaux triés et insérez-le après l'élément juste plus petit que A[2]. S'il n'y a pas de petits éléments, insérez-le au début du sous-tableau trié. Répétez les étapes ci-dessus pour tous les éléments du sous-tableau non trié. Exemple de tri par insertion Supposons que nous ayons le tableau: (5, 3, 4, 2, 1). Nous allons le trier en utilisant l'algorithme de tri par insertion.
Illustration graphique du tri par insertion. i = 1: 6 5 3 1 8 7 2 4 ⟶ 5 6 3 1 8 7 2 4 i = 2: 3 5 6 1 8 7 2 4 i = 3: 1 3 5 6 8 7 2 4 i = 4: i = 5: 1 3 5 6 7 8 2 4 i = 6: 1 2 3 5 6 7 8 4 i = 7: 1 2 3 4 5 6 7 8 Pseudo-code Voici une description en pseudo-code de l'algorithme présenté. Les éléments du tableau T (de taille n) sont numérotés de 0 à n -1. procédure tri_insertion( tableau T) pour i de 1 à taille(T) - 1 # mémoriser T[i] dans x x ← T[i] # décaler les éléments T[0].. T[i-1] qui sont plus grands que x, en partant de T[i-1] j ← i tant que j > 0 et T[j - 1] > x T[j] ← T[j - 1] j ← j - 1 # placer x dans le "trou" laissé par le décalage T[j] ← x Complexité La complexité du tri par insertion est Θ ( n 2) dans le pire cas et en moyenne, et linéaire dans le meilleur cas. Plus précisément: Dans le pire cas, atteint lorsque le tableau est trié à l'envers, l'algorithme effectue de l'ordre de n 2 /2 affectations et comparaisons [ 2]; Si les éléments sont distincts et que toutes leurs permutations sont équiprobables (ie avec une distribution uniforme), la complexité en moyenne de l'algorithme est de l'ordre de n 2 /4 affectations et comparaisons [ 2]; Si le tableau est déjà trié, il y a n -1 comparaisons et au plus n affectations.
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