Exercice sur les liens entre une fonction et sa courbe Cette page est surtout destinée aux élèves de seconde. Elle vise à montrer à travers un exercice corrigé le lien qui existe entre une fonction et sa courbe représentative. Elle vient illustrer les pages antécédents et images et tableau de variation, notamment. Pour tracer une courbe avec une calculatrice à partir d'une expression algébrique, voir la page fonction inverse. Énoncé Soit \({\mathscr{C}_f}\) la courbe représentative de la fonction \(f\) (réalisation Geogebra): Partie A: lecture d'une courbe 1- Délimiter l' ensemble de définition \(D\) de \(f. \) 2- Quels sont son minimum et son maximum? Pour quelles valeurs de \(x\) sont-ils atteints? 3- Quelle est l'image de \(f\) par -2? 4- Résoudre graphiquement \(f(x) = 3\) 5- Résoudre graphiquement \(f(x) > 0\) et dresser le tableau de signes de \(f\) puis son tableau de variation. Partie B: utilisation de l'expression algébrique \({\mathscr{C}_f}\) représente la fonction \(f(x) = x^2 - 1\) 1- Déterminer l'image de 1, 5 2- Retrouver par le calcul le résultat trouvé en A-4, c'est-à-dire \(f(x) = 3\) 3- La fonction \(f\) est-elle paire?
Résumé de cours Exercices et corrigés Cours en ligne de Seconde Générale Entraînez-vous avec les exercices corrigés sur les généralités et les fonctions pour réussir en maths seconde. Généralité sur les fonctions: exercice n°1 Le tableau suivant donne les coordonnées des points appartenant à la courbe représentative d'une fonction définie sur. 1. Donner l'image par de. 2. Peut-t-on calculer l'image par de? Justifier. Exercice n°2: tableau de valeur de la fonction Soit la fonction définie pour tout réel par. 1. Compléter le tableau de valeur de la fonction suivant: 2. Résoudre algébriquement l'inéquation et. Exercices n°3: échelle de quantité Le graphique suivant montre le nuage de points sur vingt semaines des ventes d'un commerçant. L'échelle de la quantité vendue est de. 1. Donner les quantités vendues pour les semaines, et. Les résultats attendus sont approximatifs. 2. Quelles sont les semaines où la quantité des ventes est de? 3. Quelles sont les semaines où les ventes dépassent strictement?
4. Quelles sont les semaines où les ventes sont inférieures à? 5. On note la fonction définie sur et qui passe par les points définis sur le graphique ci-dessus. On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormé. a) Donner l'image par de et celle de. Calculer. b) Donner les antécédents par de 20 000. c) Résoudre l'équation 15 000. d) Résoudre l'inéquation 20000 puis l'inéquation. Donner les résultats sous forme d'inégalités. Généralités sur les fonctions: correction de l'exercice 1 1 – L'image par de est. 2 – Oui, on peut calculer l'image par de car appartient à l'intervalle, l'ensemble de définition de. Correction de l'exercice 2: tableau de valeur de la fonction 1 – En remplaçant par la valeur indiquée dans la parenthèse de la variable de la fonction: est équivalent à (car une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul). est équivalent à est équivalent à. Par conséquent, si et seulement si. En remplaçant par, on obtient: En remplaçant par, on obtient Il ne reste plus qu'à remplir le tableau avec les résultats obtenus.
Ainsi le couple $\left(-2;\dfrac{2}{3}\right)$ vérifie la relation $(E)$. Si $a=1$ alors: $f(a+b)=\dfrac{1}{1+b}$ $f(a)\times f(b)=1\times \dfrac{1}{b}$ On doit donc résoudre l'équation: $\dfrac{1}{1+b}=\dfrac{1}{b}\ssi 1+b=b$ qui n'a pas de solution. Aucun coupe de la forme $(1;b)$ ne vérifie la relation $(E)$. On suppose que le coupe $(a;b)$ vérifie la relation $(E)$. On a alors: $\begin{align*} f(a+b)=f(a)\times f(b) &\ssi \dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{a}\times \dfrac{1}{b} \\ &\ssi \dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{ab} \\ &\ssi a+b=ab \quad a\neq 0, ~~ b\neq 0\\ &\ssi a=ab-b \quad a\neq 0, ~~ b\neq 0\\ &\ssi a=(a-1)b \quad a\neq 0, ~~ b\neq 0\\ &\ssi b=\dfrac{a}{a-1}\quad a\neq 0\end{align*}$ D'après la question précédente, on ne peut pas trouver de couple solution s'écrivant sous la forme $(1, b)$. Par conséquent le dénominateur $a-1$ n'est jamais nul. Exercice 6 On dispose d'un carré en métal de $40$ cm de côté. Pour construire une boîte parallélépipédique, on retire à chaque coin un carré de côté $x$ cm et on relève les bords par pliage (voir figure).
Ainsi le volume de la boîte est $f(5)=5\times 30^2=4~500$ cm$^3$. Le carré de base de la boîte a pour côté $40-2x$. Par conséquent $f(x)=x(40-2x)^2$ Les antécédents de $2~500$ par $f$ sont environ $1, 9$ et $13$. Cela signifie donc qu'il existe deux façons d'obtenir un volume de $2~500$ cm$^3$: si $x=1, 9$ ou si $x=13$. $f(x)< 2~000$ si $x\in]0;1, 5[\cup]14;20[$. Le volume maximal est environ $4~750$ cm$^3$. Il est obtenu pour $x=6, 5$ cm. Exercice 7 Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x-7)^2-9$. On a utilisé un logiciel de calcul formel pour obtenir la forme factorisée et la forme développée réduite de $f(x)$. $$\begin{array}{lr} \hline \text{f(x):=(x-7)^2-9}& \\ &\text{(x)->(x-7)^2-9}\\ \text{factoriser(f(x))}& \\ &(x-10)(x-4)\\ \text{developper(f(x))}& \\ &x^2-14x+40 \\ \end{array}$$ Vérifier que la forme factorisée obtenue avec le logiciel est correcte. Vérifier que la forme développée et réduite obtenue avec le logiciel est correcte. Calculer les images de $0$ puis de $7$ par $f$.
Les points d'intersection vérifient: $\begin{align*} \dfrac{4}{x} = -x + 5 &ssi \dfrac{4}{x}+x-5=0 \\ &\ssi \dfrac{4+x^2-5x}{x} =0 \\ &\ssi x^2-5x+4=0 \text{ et} x\neq 0 \\ &\ssi (x – 1)(x – 4) = 0 \text{ et} x\neq 0 \end{align*}$ Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses produits au moins est nul: $x-1 = 0 \ssi x = 1$ ou $x – 4 =0 \ssi x = 4$. Si $x= 1$ alors $y = \dfrac{4}{1} = 4$. On obtient donc le point $C(1;4)$ Si $x = 4$ alors $y = \dfrac{4}{4} = 1$. On obtient donc le point $D(4;1)$ On retrouve ainsi les points identifiés graphiquement. [collapse] Exercice 2 Représenter dans un même repère orthonormé les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies de la façon suivante: $f(x) = \dfrac{2}{x}$ pour tout réel $x$ non nul. $g(x) = 2x – 3$ pour tout réel $x$. Vérifier que les points $A(2;1)$ et $B\left(-\dfrac{1}{2};-4\right)$ sont communs à $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$. En déduire, graphiquement, les solutions de l'inéquation $f(x) \pp g(x)$.
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